Aralık

Aralık: iki sayı arasındaki tüm sayılar demektir.

Örneğin: 1 ve 6 arasındaki tüm sayılar bir aralık belirtir

Tüm Sayılar Mı?

Evet. Bu iki değer arasında yer alan tüm gerçek sayılar bu aralığa girer.

Örneğin: 2 ile 4 arasında şunlar vardır:

2.1 2.1111 2.5 2.75 2.80001
π
7/2 3.7937

Ve daha fazlası!

Peki Aralıkta Belirtilen Sayılar Dahil Mi?

Hmmm... Bazen dahildir, bazen de değildir. Bunu belirtmemiz gerekir.

Örneğin: "20 kg'a kadar paketler kabul edilir"

Eğer paketiniz tam 20 kilo ise ... dahil mi yoksa dahil değil mi?

Bu açıkça belirtilmemiş.

Bunu kesinleştirirken üç şekilde ifade edebiliriz:

  • Eşitsizlik
  • Sayı doğrusu
  • Aralık işareti

Eşitsizlikler

Eşitsizliklerde şunları kullanırız:

  • > büyüktür
  • büyük ve eşittir
  • < küçüktür
  • küçük ve eşittir

Bunun gibi:

Örneğin: x ≤ 20

Bize diyor ki: "x, 20'den küçük veya eşittir"

Yani: 20 dahil ve 20'ye kadar olan sayılar

Aralık İşareti

Bir "aralık işareti" başlangıç ve bitiş sayıları ile:

  • [ ] köşeli parantez, belirttiğimiz sayılar da dahilse kullanılır veya
  • ( ) parantez, dahil değilse kullanılır

Şunun gibi:

Interval Notation

Örneğin: (5, 12]

Şu anlama gelir: Aralığımı 5'ten 12'ye kadardır, 5 dahil değildir ama 12 dahildir

Sayı Doğrusu

Sayıları bir doğruya yazmak
hangisinin büyük ya da küçük olduğunu görmemizi kolaylaştırır.

Negatif Sayılar (-) Pozitif Sayılar (+)
(Doğru sol ve sağ tarafa doğru sonsuza kadar gider.)

 

Soldaki bir sayı, sağdaki bir sayıdan daha küçüktür.

Örneğin:

  • 5, 8'den küçüktür
  • −1, 1'den küçüktür
  • −8, −5'den küçüktür

Sağdaki bir sayı, soldaki bir sayıdan daha büyüktür.

Examples:

  • 8, 5'ten büyüktür
  • 1, −1'den büyüktür
  • −5, −8'den büyüktür

Sayı doğrusu üzerinde işaretleme yaparak aralık gösterebiliriz. Bunun için sayılar arasını kalın bir çizgi ile belirtiriz, ve:

  • sınır belirten değer dahilse içi dolu bir çember çizeriz
  • dahil değilse içi boş bir çember çizeriz

Şunun gibi:

Örneğin:

(0, 20)

Şu anlama gelir; 0 ile 20 arasındaki sayılar, 0 dahil değil ama 20 dahildir

 

Üç Yöntem Bir Arada

Üç farklı yolu tek tabloda gösterirsek (Aralık 1 ile 2 arasındadır):

  1'den   2'ye
  1 Dahil 1 Dahil Değil   2 Dahil Değil 2 Dahil
Eşitsizlik: x ≥ 1
"büyüktür ve
eşittir"
x > 1
"büyüktür"
 
  x < 2
"küçüktür"
 
x ≤ 2
"küçüktür ve
eşittir"
Sayı doğrusu: ≥1 >1   <2 ≤2
Aralık işareti: [1 (1   2) 2]

 

Örneğin: 1 dahil olsun ama 2 dahil olmasın:

Eşitsizlik:

x ≥ 1 ve x < 2

veya birlikte: 1 x < 2

Sayı doğrusu: ≥1<2
Aralık işareti: [1, 2)

Çeşitli Örnekler

Örnek: "Ne alırsan 10 lira"

Bunun anlamı ne satılıyorsa 10 dahil ve 10 liradan ucuz.

Ve tabiki şunu da söylememiz doğru olur, fiyatlar 0 liradan fazladır.

Bunu eşitsizlik olarak şöyle gösteririz:

Fiyat ≤ 10 ve Fiyat > 0

Bu ikisini birleştirelim:

0 < Fiyat ≤ 10

Sayı doğrusunda şöyle görünecektir:

(0, 10]

Ve aralık işareti ile basitçe:

(0, 10]

 

 

Açık Ya Da Kapalı

Bir aralık sınırının "Açık" ya da "Kapalı" olması, son değerin dahil olup olmadığını bize bildirir:

(a, b)   a < x < b   açık aralık
[a, b)   a ≤ x < b   soldaki kapalı, sağdaki açık
(a, b]   a < x ≤ b   soldaki açık, sağdaki kapalı
[a, b]   a ≤ x ≤ b   kapalı aralık

Bu aralıklar sonludur. Ayrıca bazı aralıklar sonsuz da olabilir.

Sonsuzluk

Sonsuzluk genellikle aralık işaretlerinde kullanılır.

Sonsuzluk gerçek bir sayı değildir, buradaki anlamı "devam ediyor ..." dur

Örnek: x 3'e eşittir ya da 3'ten büyüktür:

[3, +∞)

[3, infinity)

Not: Sonsuzluk işaretini kullandıysak aralığımızı yuvarlak parantez ile kapatırız, çünkü ona ulaşamayız!

4 muhtemel "sonsuzluk bitişi" vardır:

Aralık   Eşitsizlik    
(a, +∞)   x > a   "a'dan büyüktür"
[a, +∞)   x ≥ a   "a'dan büyük ya da ona eşittir"
(-∞, a)   x < a   "a'dan küçüktür"
(-∞, a]   x ≤ a   "a'dan küçük ya da ona eşittir"

Bu şekilde limitsizliği de gösterebiliriz: (-∞, +∞)

İki Aralık

Bazen iki veya daha fazla aralık belirtmemiz gerekebilir.

Örnek: x ≤ 2 or x >3

Sayı doğrusunda şöyle görünür:

two intervals

Ve aralık işareti kullanarak şu şekilde görünür:

(-∞, 2]  U  (3, +∞)

Burada kullandığımız "U" birleşim işaretidir.


Not: Yukarıdaki tarz eşitsizliklerde dikkatli olmalısınız.
Tek bir eşitsizlik içerisinde yazmaya çalışmayın:

2 ≥ x > 3 (No wrong)

Çünkü anlam taşımaz (Aynı anda 2'den
küçük ve 3'ten büyük olamaz).

Birleşim ve Kesişim

Az önce iki eşitsizliği "Birleşim" kullanarak birleştirmeyi anlattık (Ve sembolünü kullandık).

Ayrıca "kesişim" işareti de kullanabiliriz. Örneğin "Nerede kesiştiler?" tarzı bir soru sorabiliriz.

Kesişim sembolünü kullanmalıyız:

Example:   (-∞, 6]  ∩ (1, ∞)

İlk aralık 6'ya eşit veya küçük olduğunu söylüyor

İkinci aralık 1'den büyük olduğunu söylüyor (Ama 1'e eşit değil)

Bu iki kümenin kesişimi 1 - 6 arasıdır (1 dahil değil, 6 dahil):

(1, 6]

 

Sonuç

  • Bir aralık iki sayı arasındaki tüm sayıları ifade eder.
  • Aralığın sınırlarındaki sayıların dahil olup olmadığı önemlidir.
  • Üç farklı şekilde aralıklar ifade edilebilir: Eşitsizlik, sayı doğrusu ve aralık işareti.

 

www.matematikkitabi.com © 2016
Hazırlayan: Murat ELİÇALIŞKAN