Eşitsizliklerin Çözümü

Bazen eşitsizlikleri çözmek gerekir:

İşaret
Anlamı
Örnek
>
büyüktür
x + 3 > 2
<
küçüktür
7x < 28
büyüktür veya eşittir
5 x - 1
küçüktür veya eşittir
2y + 1 7

Çözmek

Amacımız x'i (ya da değişken neyse onu) yalnız başına eşitsizlik işaretinin solunda bırakmak olacak:

Şunun gibi:   x < 5
veya:   y ≥ 11

Bu hale getirebilirsek eşitsizliği "çözmüş" oluruz.

Nasıl Çözülür?

Eşitsizliği çözmek denklem çözmek gibidir ... çoğunlukla aynı şeyleri yaparız ...

... fakat eşitsizlik çözmek eşitsizliğin yönü dolayısıyla ayrıca bir dikkat ister.

greater than sign
Yön: Eşitsizlik işaretinin "gösterdiği yöndür"

Bazı şeyler yaptığımızda eşitsizliğin yönü değişir!

< işareti > olur

> işareti < olur

işareti olur

işareti olur

Güvenle Yapabileceklerimiz

Aşağıda sayacağımız şeyler eşitsizliğin yönünü değiştirmeden yapabiliriz:

  • Her iki tarafı da aynı sayılarla toplamak ve çıkarmak
  • Her iki tarafı da pozitif sayılarla çarpmak ve bölmek
  • Her iki tarafı da sadeleştirmek

Örneğin: 3x < 7+3

Rahatlıkla 7 + 3 işlemini yön değiştirmeden yapabiliriz:

3x < 10

Fakat aşağıdaki durumlarda eşitsizliğin yönünü değiştirmeliyiz (Örneğin "<", ">" olmalı):

  • Her iki tarafı da negatif sayılarla çarpmak ya da bölmek
  • Sağ ile sol taraftakileri yer değiştirmek

Örneğin: 2y+7 < 12

Sol taraftakilerle sağ taraftakileri yer değiştirirken, eşitsizliğin yönünü de değiştiririz:

12 > 2y+7

İşte detaylar:

Toplamak ve Çıkarmak

Eşitsizlikleri tarafları aynı sayılarla toplayıp çıkararak çözebiliriz, şunun gibi:

Soruyu Çözünüz: x + 3 < 7

Her iki taraftan 3 çıkarırsak:

x + 3 - 3 < 7 - 3    

x < 4

Bulduğumuz x < 4 bizim çözümümüz olur.

Diğer bir deyişle, x 4'ten küçük herhangi bir sayıdır.

 

Az Önce Ne Yaptık?

Buradan:

 

Buraya gittik:

   

x+3 < 7

 

x < 4

         

Bu problemi çözmemize yardımcı oldu, çünkü her iki tarafı da aynı sayılarla toplamak veya çıkarmak eşitsizliği bozmaz.

Örneğin: Murat, Fatoş'tan daha çok bilyeye sahiptir. Eğer hem Fatoş'a hem Murat'a 3 bilye daha verirsek yine Murat'ın fazla bilyesi olacaktır.

Peki Soruyu Çözerken "x" Sağda Kalırsa?

Sorun yok! Yapacağınız şey onların yerini değiştirmek ve işareti ters çevirmek:

Örneğin: 12 < x + 5

Her iki taraftan 5 çıkarırsak:

12 - 5 < x + 5 - 5    

7 < x

Bu bir çözüm!

Fakat normalde "x" solda olmalıdır ...

... o halde tarafları yer değiştiririz (ve eşitsizlik işaretini!):

x > 7

Fark ettiniz mi eşitsizlik halen "ayno noktada" 7'den küçük ?

İşte çözüm: x > 7

Not: "x" sağ tarafta da olabilir, fakat genellikle insanlar solda kullanır!

Çarpma İşlemi

Eşitsizliklerle ilgili yapabileceğimiz diğer bir şey her iki tarafı aynı sayı ile çarpmak ya da aynı sayıya bölmektir.

Fakat burada biraz daha dikkatli olmalıyız.


Pozitif Sayılar

Eğer eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile bölüyor ya da çarpıyorsak sıkıntı yok:

Solve: 3y < 15

Her iki tarafı da 3'e bölersek:

3y/3 < 15/3

y < 5

And that is our solution: y < 5


Negatif Sayılar

warning! Tarafları ne zaman negatif bir sayı ile bölmemiz
ya da çarpmamız gerekirse eşitsizliği tersine çevirmeliyiz.

Neden?

Pekala, sayı doğrusuna bakalım!

Örneğin, 3'ten 7'ye doğru sayısal değerde artış var,
fakat -3'ten -7'ye doğru düşüş var.

-7 < -3 7 > 3

Eşitsizliğin nasıl da yön değiştirdiğini (<'den >'e dönüştü) gördünüz mü ?

Bir örnekle pekiştirelim:

Çözünüz: -2y < -8

Her iki tarafı da -2'ye bölelim ... ve eşitsizliğin yönünü değiştirelim!

-2y < -8

-2y/-2 > -8/-2

y > 4

Ve bu bulduğumuz sorunun doğru çözümü: y > 4

(Eşitsizliği tam -2'ye bölerken eşitsizliğin yönünü değiştirdiğime dikkat edin)

Pekala, şimdi hatırlayalım:

Ne zaman bir eşitsizliği negatif bir sayı ile çarpıp bölerseniz eşitsizliği tersine çevirmeyi unutmayın!

Değişkenlerle Çarpmak Ya Da Onlara Bölmek

Yeni bir örneğe hazır olun:

Örnek: bx < 3b

Görünüşe bakılırsa her iki tarafı b'ye bölersek şu sonucu elde ederiz:

x < 3

... fakat bir dakika ... eğer b negatif ise eşitsizliği şu şekilde tersine çevirmeliyiz:

x > 3

Ama b'nin pozitif ya da negatif olduğunu bilmiyoruz, öyleyse bu soruyu çözemeyiz!

Daha kolay anlamamız için, b'ye 1 ve -1 vererek deneyelim:

  • eğer b = 1 olursa cevap x < 3
  • ama b = -1 olursa cevap -x < -3, yön değiştirirsek x > 3 oluyor
O halde:

Bir değişkenin negatif ya da pozitif olduğundan emin değilseniz, eşitsizliğin her iki tarafını değişkene asla bölmeyin.

Daha Kapsamlı Bir Örnek

Çözünüz: (x-3)/2 < -5

Öncelikle "/2"'den kurtulmalıyız. Bunun için her iki tarafı 2 ile çarpıyoruz:

Her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpmak eşitsizlikte herhangi bir değişikliğe yol açmaz.

(x-3)/2 ×2 < -5 ×2  

(x-3) < -10

Her iki tarafa 3 ekliyoruz:

x-3 + 3 < -10 + 3    

x < -7

Ve işte çözüm: x < -7

İki Eşitsizlik Bir Arada

İki eşitsizlik verilen soruları nasıl çözeriz?

Çözün:

-2 < (6-2x)/3 < 4

Öncelikle her iki tarafı 3 ile çarpıp eşitsizlikteki "/3"'ten kurtuluruz:

Pozitif bir sayı ile çarptığımız için eşitsizlikte bir değişiklik yapmamıza gerek yok.

-6 < 6-2x < 12

Her iki taraftan 6 çıkaralım:

-12 < -2x < 6

Şimdi her iki tarafı -(1/2) ile çarpalım. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirir.

Çünkü negatif bir sayı ile çarpıyoruz, bu nedenle işaret değiştireceğiz.

6 > x > -3

Ve işte çözüm!

Fakat küçük olan sayının sol tarafta olması, büyük olan sayının sağ tarafta olması yerinde olur:

-3 < x < 6

 

Özet

  • Birçok basit eşitsizlik sadece tarafları toplayarak, çıkararak, çarparak ve bölerek çözülebilir. Tek yapmanız gereken değişkeni sol tarafta yalnız bırakabilmek!
  • Fakat şu durumlarda eşitsizliğin taraf değiştireceğini unutmayın:
    • Eşitsizliğin her iki tarafını negatif sayı ile çarpmak ya da bölmek
    • Tarafları yer değiştirmek
  • Ve bir değerin pozitif ya da negatif olduğunu bilmiyorsanız, asla eşitsizliği o değişkene bölmeyin ve çarpmayın.

 

www.matematikkitabi.com © 2016
Hazırlayan: Murat ELİÇALIŞKAN