Mutlak Değerin Cebirde Kullanımı

Bir sayının mutlak değeri, onun sıfıra olan uzaklığıdır. Sayı pozitif ya da sıfırsa olduğu gibi bırakırız, negatifse pozitif ile değiştiririz.

x aşağıdaki değerlere eşit olabilir:

Mutlak Değer

Mutlak değerden çıkan sonuçlar aşağıdaki gibi olur:

  • x sıfırdan büyükse, x
  • x sıfır ise, 0
  • x sıfırdan küçükse, −x (bu durumda sayıyı "pozitif" yaparız)

Örnek: |−17| kaçtır?

Sayı sıfırdan küçük olduğundan "−x" hesaplanır:

− ( −17 ) = 17

(Çünkü eksinin eksiyle çarpımı artıdır)

Çeşitli Özellikler

İşlemlerinizde faydalı olabilecek bazı özellikler:

|a| ≥ 0 daima!

Unutmayın |a| asla sıfırdan küçük olamaz.

|a| = √(a2)

a'nın karesi pozitif ya da sıfırdır (eğer a gerçek sayıysa). Sonuç olarak kare durumundaki sayının kökü pozitif ya da sıfırdır.

|a × b| = |a| × |b|

Bunlar aynı anlama gelir:

  • (a çarpı b)'nin mutlak değeri, ve
  • (a'nın mutlak değeri) çarpı (b'nin mutlak değeri).

Sıradaki özellik soruları çözerken size çok faydalı olacak:

|u| = a eşittir u = ±a ve bunun tersine

Bu özellik birçok mutlak değer sorusu çözümüne yardım eder.

Örnek: |x+2|=5 çözünüz.

"|u| = a ile u = ±a aynıdır":

bu: |x+2|=5
bununla aynıdır: x+2 = ±5

Bu durumda çözüm kümesinin iki elemanı olur:

x+2 = −5 x+2 = +5
x = −7 x = 3

Grafikte Gösterelim

Belirtilen örneğin çözüm kümesini grafikte gösterelim:

|x+2| = 5

Eğer denklem sıfıra eşitse grafik çizmek daha kolay olur ("=0"). Bunun için denklemin her iki tarafından 5 çıkarırız.:

|x+2| − 5 = 0

Grafiğimizi çizmeye başlarız:

|x+2| - 5 = 0
|x| |x+2| |x+2|-5

Buna göre iki çözüm olduğu görülebiliyor: −7 veya +3.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değer ve eşitsizlikler konusunu birleştirdiğimiz zaman biraz daha dikkatli olmamız gerekir!

4 eşitsizlik vardır:

< >
küçüktür küçük veya
eşittir
büyüktür büyüktür
veya eşittir

Küçüktür, Küçük-Eşittir

Eğer "<" ve "" kullanılmışsa sıfırı ortalayan tek bir aralık vardır:

Örnek: |x| < 3

Bu x'in sıfıra uzaklığı 3'ten küçük demektir:

-3 to 3

-3 ile 3 arasındaki her sayı olabilir (ama bu sayılar olamaz)

Aşağıdaki şekilde yazılabilir:

−3 < x < 3

Aralık şu şekilde gösterilebilir: (−3, 3)

"Küçük veya Eşittir" için de aynı şey yapılır:

Example: |x| ≤ 3

-3 ile 3 arasındaki her şey ve -3 ile 3 dahil.

Aşağıdaki şekilde yazılabilir:

−3 ≤ x ≤ 3

Aralık şu şekilde gösterilebilir: [−3, 3]

Daha büyük bir örneğe ne dersiniz?

Örnek: |3x-6| ≤ 12

Aşağıdaki şekilde tekrar yazalım:

−12 ≤ 3x−6 ≤ 12

6 ekleyelim:

−6 ≤ 3x ≤ 18

Son olarak (1/3) ile çarpalım. Çünkü pozitif bir sayıyı çarpmak eşitsizlikte bir değişikliğe yol açmaz.:

−2 ≤ x ≤ 6

İşte bitti!

Aralık aşağıdaki şekilde yazılabilir: [−2, 6]

Büyüktür ve Büyük-Eşittir

Bu biraz farklı ... iki farklı aralık elde edilir:

Example: |x| > 3

Bu grafikte aşağıdaki gibi görünür:

|x| > 3

-3'den küçük ya da 3'ten büyük

Aşağıdaki şekilde yazılabilir:

x < −3 veya x > 3

Aralık: (−∞, −3) U (3, +∞)

Dikkat! Aşağıdaki şekilde yazmayın

−3 > x > 3 no!

"x" aynı anda -3'ten küçük ve 3'ten büyük olamaz.

Aslında şöyledir:

x < −3 veya x > 3 yes

"x" −3'ten küçük veya 3'ten büyüktür

Aynı durum "Büyük veya eşittir" için geçerlidir:

Örnek: |x| ≥ 3

Aşağıdaki şekilde yazılabilir

x ≤ −3 veya x ≥ 3

Aralığı göstermek istersek: (−∞, −3] U [3, +∞)

www.matematikkitabi.com © 2016
Hazırlayan: Murat ELİÇALIŞKAN