Sayıların Sınıflandırılması

Sayıların Kökeni

Yeni bir maceraya davetlisiniz ...

... sizi "Sayılar Dünyası"na götürüyoruz.

Basit bir soruyla başlayalım:

S: Neden sayıya ihtiyaç duyulmuştur?

C: Bir şeyleri saymak için!

Sayma Sayıları

Sayı saymak için şu sayıları kullanırız: 1, 2, 3, 4 ...

İnsanlar yıllardan beridir sayıları saymakta kullanır. Bu yaptığımız en doğal şey.

  • "3 arkadaşa" sahipsiniz,
  • Bir tarla "6 sığırı" besleyebilir
  • ve benzerleri ...

O halde şunlara sahibiz:

Sayma Sayıları: {1, 2, 3, ...}

Ve "Sayma Sayıları" uzun bir süre insanlar için yeterli gelmiştir.

Sıfır

Sıfırı kullanmak bizim için oldukça doğal olsa da ilk insanlar için değildi. Olmayan bir şeyi nasıl sayabilirsiniz ki?

Örneğin: Köpekleri sayabilirsiniz, fakat boş alanları sayamazsınız:

2 köpek   0 köpek
İki Köpek   Sıfır köpek? Sıfır kedi?

Yer Tutucu

Bundan 3,000 sene önce 4 ve 40 arasında bir fark yoktu. Çünkü henüz "sıfır" keşfedilmemişti.

Onlar da sayılar arasında "yer tutucular" kullandılar, bu "orada küçük mutlu bir sıfır var" anlamına geliyordu.

5 2

"5 2" demek "502" demektir!

(5 yüzlük, sıfır onluk, ve iki birlik)

Sıfırın varlığı belki biliniyordu, ancak günümüzdeki anlamıyla bir sayı olarak kabul edilmesi epey zaman aldı.

Şimdi düşünelim:

"3 portakalım var, sonra 3 portakal yiyorum, şimdi sıfır portakalım var!"

Doğal Sayılar

Şimdi, sıfırı da sayma sayılarına ekleyelim ve yeni bir sayı kümesi elde edelim.

Bu kümeye yeni bir isim verelim ve adı "Doğal Sayılar" olsun:

Doğal Sayılar: {0, 1, 2, 3, ...}

doğal sayılar doğrusu

Negatif Sayılar

Fakat, Matematik Dünyasında sürekli yeni sorular ortaya çıkar ve tabiki yeni cevaplar aranır!

Bu sorulardan biri şöyledir;

"Bir yolda ilerliyorsan, onun tersi yönünde de ilerleyebilir misin?"

Sayıları ileri doğru sayabiliriz: 1, 2, 3, 4, ...

... fakat geriye doğru sayarsak:

3, 2, 1, 0, ... Sonraki ne olacak?

  number line below zero

Cevap: negatif sayılar kullanmalı:

number line

Artık ileri ya da geri istediğimiz kadar gidebiliriz.

Fakat bir sayı nasıl olur da "negatif" olur?

Basitçe sıfırdan küçük olması demektir.

thermometer

Buna bir örnek termometredir.

Sıfır Selsiyus derece tanımlıdır (0° C) ve suyun donduğu noktayı belirtir ... Fakat daha soğuk için negatif sayıları kullanmak gerekir.

O nedenle -20° C demek 20° derece sıfırdan aşağı demektir.

 

Tam Sayılar

Doğal sayılar ile negatif olanlarını birleştirirsek yeni bir sayı kümesi elde ederiz. Bu sayı kümesine tam sayılar diyeceğiz

Integers: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Tam sayılar negatif ve pozitif sayma sayıları ile sıfırdan oluşur. Hem negatif hem pozitif sayma sayıları sonsuza kadar gider.

number line

 

Kesirler

yarım portakal

Bir portakalınız var, onu birisiyle paylaşmak istiyorsunuz ve iki parçaya böleceksiniz.

Yeni bir sayı keşfetmek üzeresiniz!

1 sayısını 2 sayısına bölersek yarım (1/2) elde ederiz

4 bisküviyi 3 arkadaşımıza bölüştürürken de ... her arkadaşımıza (4/3) bisküvi düşer.

Bu sayı kümesinin adı geliyor:

Rasyonel Sayılar

Kesir olarak yazılabilen tüm sayılar Rasyonel Sayılar Kümesi'ni oluşturur.

O halde "p" ve "q" birer sayı ise p/q bir rasyonel sayıdır.

Örneğin: p = 3 ve q = 2, ise:

p/q = 3/2 = 1.5 bir rasyonel sayıdır

Bu sadece tek durumda işe yaramaz. Yukarıdaki örnekte q = 0 olursa, çünkü bir sayının sıfıra bölünümü tanımsızdır.

Rasyonel Sayılar: {p/q : p ve q tam sayılar kümesinin elemanı, q eşit değilse sıfıra}

O nedenle yarım (½) bir rasyonel sayıdır.

Ve ayrıca 2 de bir rasyonel sayıdır, çünkü onu 2/1 şeklinde yazabilirsin!

Özetle, rasyonel sayılar şunları içeriyor:

  • Tüm tam sayıları
  • ve tüm kesirleri.

13.3168980325 da rasyonel bir sayıdır:

13.3168980325 = 133,168,980,325 / 10,000,000,000

Mümkün olan tüm sayıların Rasyonel Sayılar kümesinde olabileceğini gördünüz mü?

Dahası Var...

Sorular bitmiyor ...Ve bu sorular Pisagor'u da çok düşündürmüş.:

square root 2 Bir kare çizersek (kenar uzunlukları "1" birim olsun), köşelerin birbirine olan uzaklığı ne olur?

Cevap 2'nin kare kökü, ve şuna eşit 1.4142135623730950...(devam ediyor)

Bu 3, 1/2 ya da 5.3 gibi bir şeye benzemiyor ...

... aslında bu soruya rasyonel sayılar kümesinde bir cevap veremezsiniz

2'nin kare kökü ≠ p/q

... şunu diyebilirsiniz bu bir rasyonel sayı değildir

Hey! Bu sayılar rasyonel sayılar değil! Onları nasıl adlandıralım?

İrrasyonel Sayılar !

İrrasyonel Sayılar

2'nin kare kökü (√2) bir irrasyonel sayıdır. Çünkü rasyonel değil (bir tam sayının belli bir kısmını ifade etmiyor).

Ve biliyoruz ki birçok irrasyonel sayı var. Örneğin pi sayısı bunlardan en meşhuru.

Faydalı

İrrasyonel sayılar gerçekten faydalıdır. Onlar olmadan şunları yapamazdık:

  • karenin çapraz köşe uzunluklarını hesaplamak,
  • çemberlerle ilgili işlemler (π sayısını kullanarak),
  • ve dahası,

Onları da yukarıda bahsedilen sayılara dahil etmeliyiz.

Ve, yeni bir sayı kümesi elde etmeliyiz ...

Gerçek Sayılar

Gerçek sayıları kümesi şunları içerir:

  • rasyonel sayılar, ve
  • irrasyonel sayılar

Gerçek Sayılar: {x : x rasyonel ya da irrasyonel}

Bir gerçek sayı, sayı doğrusu üzerinde herhangi bir yerde olabilir:

Yukarıda sadece ondalıklar görünüyor (Bu sadece basit bir bilgisayar)
fakat Gerçek Sayılar çok daha fazla ondalık içerir!

Sayı doğrusunda Herhangi bir yerde olan sayı, sayılar kümesi için yeterince sayı içerir!

Fakat faydalanabileceğimiz daha fazla sayı da var.

Hayal Edelim ...

Sorumuz şu olsun:

"−1'in kare kökü diye bir sayı var mıdır?"

Diğer bir deyişle, Neyi kendisiyle çarparsanız -1 eder?

Bunu düşünün: Bir sayıyı kendisiyle çarparsanız negatif olamaz:

  • 1×1 = 1,
  • ve (-1)×(-1) = 1 (çünkü iki negatif işaretlinin çarpımı pozitiftir)

Peki kendisiyle çarpıldığında -1 olan sayı ne olabilir?

Bu normal olarak imkansızdır, fakat ...

"Hayal ederseniz, öyle bir sayı olabilir"

O halde, ...

Hayali Sayılar

square root of minus one

... -1'in kare kökünü sadece hayal edebiliriz.

Buna özel bir işaret koyalım: i harfi!

Ve sorulara cevap verirken kullanalım:

Örneğin: -9'un kökü nedir ?

Answer: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i

Cevap i ile belirtilmiş, bu mantıklı ve tutarlı bir cevap.

Bazen hayali sayılar gerçeğe dönüşebilir: Örneğin i×i ile elde edilecek bir sonuç ... O halde hayali sayılar ya da i sayısı için tam tanımı yapalım:

Hayali Sayılar: Negatif bir sayının kökü olan sayıdır.

ve Gerçek sayılarla çarpıldığında sonucu hayali bir sayı olarak verir. Aşağıdakiler birer hayali sayıdır:

  • 3i
  • -6i
  • 0.05i
  • πi

Hayali sayılar günümüzde pekçok yerde kullanılır, örneğin elektrik ve elektronikte ...

Yeter Artık

... dediğinizi duyar gibiyim. Ama yetmez! Şimdi düşünelim:

"Eğer Gerçek Sayı ile Hayali Sayı bir arada kullanılırsa ne olur?"

Karmaşık Sayılar

Evet, hayali ve gerçek sayılar bir arada kullanılabilir. Bu durumda karmaşık sayılar elde edilir. Birkaç örnek:

  • 3 + 2i
  • 27.2 - 11.05i

Karmaşık sayıların gerçek olan ve hayali olan kısımları olabilir. Fakat bunlar sıfır da olabilir

O halde her gerçek sayı aynı zamanda hayali sayıdır (hayali kısmını sıfır olarak düşünelim):

  • 4 bir hayali sayı olabilir (4 + 0i olduğunu varsayalım)

ve benzer şekilde her hayali sayı bir karmaşık sayı olabilir (gerçek kısmı 0 ise):

  • 7i bir karmaşık sayıdır (çünkü 0 + 7i olduğu düşünülebilir)

Kısaca karmaşık sayılar gerçek ve hayali sayıların birlikteliğidir.

 

Sonunda bitti!

Matematikte kullanılan en önemli sayı türlerini öğrendiniz.

Özet

Bu sayfada bunlardan bahsettik:

Simge Type of Number Quick Description
S Sayma Sayıları {1, 2, 3, ...}
N Doğal Sayılar {0, 1, 2, 3, ...}
Z Tam Sayılar {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q Rasyonel Sayılar p/q : p ve q birer tam sayı, q sıfırdan farklı
Q' İrrasyonel Sayılar Rasyonel olmayan sayılardır
R Gerçek Sayılar Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
i Hayali Sayılar Kök durumundaki negatif gerçek sayılar
C Karmaşık Sayılar Gerçek ve Hayali sayıların birleşimi

 

www.matematikkitabi.com © 2016
Hazırlayan: Murat ELİÇALIŞKAN